Hur många klossar behövs

  • A) Teckna ett uttryck för antalet klossar i den n:e figuren.
  • A7 Du har en hög med klossar i fyra olika färger.
  • Hur många röda klossar behöver du för att det röda tornet ska bli lika högt som det gula?

    • •

    När du skall beskriva ett mönster med hjälp av en formel så används vissa bokstäver för att beskriva antal element och vilket nummer talet eller figuren befinner sig i. Vanligt är att använda $n$ för att beskriva platsnummer och $a$ för att beskriva antalet element.

    Formeln för det n:te talet i mönstret

    Platsnumret kallas $n$ där $n$ är positiva heltal $1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }…$1, 2, 3, 4, …

    Antalet element i mönstret beskrivs med $a_n$ och är alltså beroende av platsnumret.

    Formeln beskrivs på formen:

    $a_n=$= formel där $n$ används 

    Exempel 1

    En formeln skulle kunna se ut på följande vis

    $a_n=n^2$=2

    Elementen i formeln blir då
    $a_1=1^2=1$1=12=1
    $a_2=2^2=4$2=22=4
    $a_3=3^2=9$3=32=9
    …

    Exempel 2

    En talföljds mönster beskrivs av formeln $a_n=4n-2$=4−2. Ange det första och det fjärde elementet (talet) i talföljden.

    Lösning

    I det första elementet är $n=1$=1. Vi får då
    $a_1=4\cdot1-2=4-2=2$1=4·1−2=4−2=2
    Det första element

    •

    Provpass 2 - XYZ

    Matematisk problemlösning - XY

    1. En rätvinklig triangel och en kvadrat är placerade enligt figuren. Hur lång är sträckan x?

    1. 6 cm
    2. 7 cm
    3. 8 cm
    4. 9 cm

    I figuren är kvadratens area \(16 \;cm^2\), alltså är sidan roten ur 16, dvs 4 cm.
    Triangelns area är \(6 cm^2\). Ytan på en triangel är \(\frac{b\cdot h}{2}\). Basen b är 4 cm (se kvadraten). Vi får \(\frac{4\cdot h}{2}=6\). Då måste h vara = 3.
    Totalt blir sträckan \(x=4+3=7\)

    Svar: B

    2. x och y uppfyller sambandet 2x + 3xy - 4y = 10. Vilket värde har x om y = -2?

    1. \(-18\)
    2. \(-\frac{9}{2}\)
    3. \(-2\)
    4. \(-\frac{1}{2}\)

    Då \(y=-2\) får vi ekvationen \(2x+3x\cdot (-2)-4\cdot (-2)=10\)
    Vi multiplicerar och får \(2x-6x+8=10\)
    Förenkling ger \(-4x=2\), dvs. \(x=-\frac{1}{2}\)

    Svar: D

    3. \(f(x) = \frac{x}{2}-1\)

    Vilket svarsalternativ visar grafen till funktionen f?




    Då \(x=0\) är \(y=-1\), då har vi en punkt i koordinatsystemet som innebär att linjen skär y-axeln då \(y=-1\).
    Räta li

    •

    Bygga ett torn av klossar

    Om man skriver ut det som SvanteR räknade fram:

    Detta kan man tolka på följande vis:

    Det finns 10! kombinationer om man låtsas om att alla kuberna är unika. Alla är dock inte unika. För att råda bot på detta får vi ta alla de kombinationer som betraktas som olika om vi räknar med 10! som vårt svar men som inte är det och göra en uträkning som gör att de betraktas som en kombination.

    Betraktar vi en given kombination så kan vi skapa en annan kombination genom att endast flytta de vita kuberna. Vi får då en ny kombination som vi inte borde räkna med. Dessa tre kuberna kan placeras på 3! vis, så de vita kuberna gör upphov till att vi räknar med 3! gånger så många kombinationer som det är i verkligheten. På samma vis kan vi byta plats på de två gula respektive de två röda kuberna, som på egen hand gör att vi får 2! respektive 2! gånger så många kombinationer som det är i verkligheten. För att råda bot på detta får vi dividera på detta, så vi får

    vilket äve